Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

- , - 1,427, -

Nhắc đến sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác, chắc hẳn các em học sinh cấp 3 sẽ thấy dạng bài này rất thú vị và hay. Sau đây WEBDINHNGHIA.COM sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản về chủ đề này.

Sự đồng biến nghịch biến của hàm số là gì?

Giả sử: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số (y=f(x))  xác định trên K.

  • Hàm số (y=f(x)) đồng biến trên K nếu:
    (x_{1},x_{2}in K; x_{1} < x_{2}Rightarrow f(x_{1})< f(x_{2}))
  • Hàm số (y=f(x)) nghịch biến trên K nếu:
    (x_{1},x_{2}in K; x_{1} < x_{2}Rightarrow f(x_{1})> f(x_{2}))

sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số: (y=f(x)) có đạo hàm trên K.

  • Điều kiện cần:

    + Nếu (f(x)) đồng biến trên K thì (f'(x)geq 0, orall xin K.)

    + Nếu (f(x)) nghịch biến trên K thì (f'(x)leq 0, orall xin K.)

  • Điều kiện đủ:

    + Nếu (f'(x)geq 0, orall xin K)(f'(x)=0) chỉ tại 1 số hữu hạn điểm thuộc K thì (f'(x)) đồng biến trên K.

    + Nếu (f'(x)leq 0, orall xin K)(f'(x)=0) chỉ tại 1 số hữu hạn điểm thuộc K thì (f'(x)) nghịch biến trên K.

    + Nếu (f'(x)= 0, orall xin K) thì (f(x)) là hàm hằng trên K.

Các bước xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định.
  • Bước 2: Tính đạo hàm. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác là hàm số có dạng y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x.

  • Hàm số sin: Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x.

      (sin x: mathbb{R} ightarrow mathbb{R})

(xmapsto y=sin x)

được gọi là hàm số sin, ký hiệu là y = sin x.

Tập xác định của hàm số sin là: (mathbb{R})

  • Hàm số cos: Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x.

   (cos x: mathbb{R} ightarrow mathbb{R})

(xmapsto y=cos x)

được gọi là hàm số cos, ký hiệu là y = cos x.

Tập xác định của hàm số sin là: (mathbb{R})

  • Hàm số tan: là hàm số được xác định bởi công thức:
    (y= rac{sin x}{cos x} (cos x eq 0)), ký hiệu là y = tan x.

Tập xác định của hàm số tan là: (D=mathbb{R}setminus left { rac{pi }{2} +Kpi , kin mathbb{Z} ight })

  • Hàm số cot: là hàm số được xác định bởi công thức:
    (y= rac{cos x}{sin x} (sin x eq 0)), ký hiệu là y = cot x.

Tập xác định của hàm số y = cot x là: (D=mathbb{R}setminus left { kpi , kin mathbb{Z} ight }).

sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

Sự đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và hàm số logarit

Định nghĩa sự đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và hàm số logarit

  • Hàm số mũ là hàm số có dạng y= ax (với a > 0, a≠1).
  • Hàm số logarit là hàm số có dạng y = logax (với a > 0, a≠1)

Tính chất của hàm số mũ y= ax (a > 0, a≠1).

  • Tập xác định: (mathbb{R})
  • Đạo hàm: ( orall xin mathbb{R}, y= a^{x}lna)
  • Chiều biến thiên:
    • Nếu a>1 thì hàm số luôn đồng biến.
    • Nếu 0
  • Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.
  • Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành (y= ax  > 0, ∀x), và luôn cắt trục tung tại điểm (0;1) và đi qua điểm (1;a).

Tính chất của hàm số logarit y = logax (a> 0, a≠1).

  • Tập xác định: ((0;+infty ))
  • Đạo hàm: ( orall x in (0;+infty ), y= rac{1}{xlna})
  • Chiều biến thiên:  
  •    +) Nếu a>1 thì hàm số luôn đồng biến.
  •    +) Nếu 0 < a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến.
  • Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.
  • Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) và đi qua điểm (a;1).

sự đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và logarit

Lưu ý:

  • Nếu a > 1 thì (lna>0), suy ra ((a^{x})’>0, orall x)((log_{a}x)’>0, orall x> 0); Hàm số mũ và hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1 là những hàm số luôn đồng biến.
  • Nếu 0 < a < 1 thì (lna<0), ((a^{x})'< 0)((log_{a}x)’< 0, orall x> 0); hàm số mũ và hàm số logarit với cơ số nhỏ hơn 1 là những hàm số luôn nghịch biến.

– Công thức đạo hàm của hàm số logarit có thể mở rộng thành:

((lnleft| x ight|)’= rac{1}{x}, orall x eq 0)
((log_{a}left| x ight|)’= rac{1}{xlna}, orall x≠0).

Ví dụ minh họa

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số: (y= x^{2}e^{-4x})

Tập xác định: (mathbb{R})

Ta có: (y’= 2xe^{-4x}+xe^{-4x}(-4)=2xe^{-4x}(1-2x))

Bảng biến thiên:

ví dụ minh họa về sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Vậy khoảng đồng biến của hàm số là (1; +∞).

Như vậy, bài viết trên đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích về sự đồng biến nghịch biến của hàm số, sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác cũng như các ví dụ minh họa. Nếu như có bất cứ băn khoăn hay câu hỏi nào về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số lượng giác, mời bạn để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

CATEGORIES

TOP LÀ GÌ

TOP Tìm Hiểu

TOP Định Nghĩa

Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

NAN/5
Nhắc đến sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác, chắc hẳn các em học sinh cấp 3 sẽ thấy dạng bài này rất thú vị và hay. Sau đây WEBDINHNGHIA.COM sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản về chủ đề này.

FANPAGE